https://web.archive.org/web/20220311083250/https://ro.wikipedia.org/wiki/Principiul_incertitudinii #alternate Modificare Wikipedia (ro) IFRAME: https://archive.org/includes/donate.php?as_page=1&platform=wb&referer=h ttps%3A//web.archive.org/web/20220311083250/https%3A//ro.wikipedia.org/ wiki/Principiul_incertitudinii Wayback Machine https://ro.wikipedia Go Dec MAR Jul Previous capture 11 Next capture 2020 2022 2023 success fail About this capture COLLECTED BY Collection: Media Cloud A longitudinal web archival collection based on URIs from the daily feed of Media Cloud that maps news media coverage of current events. TIMESTAMPS loading The Wayback Machine - https://web.archive.org/web/20220311083250/https://ro.wikipedia.org/wik i/Principiul_incertitudinii Principiul incertitudinii De la Wikipedia, enciclopedia libera Sari la navigare Sari la cautare Noia 64 apps help index.png Aceasta pagina (sectiune) necesita o verificare. __________________________________________________________________ Stergeti eticheta numai dupa rezolvarea problemelor. In mecanica cuantica, chiar si rezultatul unei masuratori a unui sistem nu este determinist, ci este caracterizat printr-o distributie de probabilitate, in care cu cat este mai mare deviatia standard, cu atat mai multa "incertitudine" se va putea spune ca respectiva caracteristica este pentru acel sistem. Principiul incertitudinii al lui Heisenberg da o limita inferioara asupra produsului deviatiilor standard ale pozitiei si impulsului unui sistem, specificand ca este imposibil sa avem o particula cu un impuls si o pozitie arbitrar de bine definite simultan. Mai precis, produsul deviatiilor standard [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>x</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>p</mi> <mo>>=</mo> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\Delta p\geq \hbar /2}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq \hbar /2} , unde [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \hbar } este Constanta Planck redusa. Principiul este susceptibil de generalizare la multe alte perechi de marimi, afara de pozitie si impuls (de exemplu, impulsul unghiular pe doua axe de coordonate diferite), si poate fi derivat euristic. De observat ca incertitudinile in chestiune sunt caracteristice ale marimilor mecanice. In orice masurare din lumea reala, vor fi incertitudini aditionale create de procesul de masurare care nu este nici perfect, nici ideal. Principiul incertitudinii este valabil chiar daca masuratorile sunt ideale (asa numite masuratori von Neumann) sau neideale (masuratori Landau). De observat ca si produsul incertitudinilor, de ordinul 10^-35 Joule-secunda, este atat de mic incat principiul incertitudinii are efect neglijabil la scara macroscopica, in ciuda importantei pe care o are la nivel atomic sau subatomic. Principiul incertitudinii a fost un pas important in dezvoltarea mecanicii cuantice cand a fost formulat de Werner Heisenberg in 1927. Este adesea confundat cu efectul de observator. [ ] Cuprins * 1 Dualitatea unda-particula * 2 Principiul incertitudinii versus efectul de observator * 3 Generalizarea, formularea exacta si relatia Robertson-Schroedinger + 3.1 Alte forme ale principiului incertitudinii + 3.2 Principiul incertitudinii energie-timp * 4 Demonstratie * 5 Istorie si interpretari * 6 Cultura populara * 7 Note * 8 Bibliografie * 9 Legaturi externe Dualitatea unda-particula[modificare | modificare sursa] Articol principal: Dualitatea unda-particula. Werner Heisenberg in 1927 Un postulat fundamental al mecanicii cuantice, care se manifesta in principiul incertitudinii al lui Heisenberg, este acela ca nici un fenomen fizic nu poate fi descris (cu precizie arbitrara) ca "particula punctiforma clasica" sau ca unda ci mai degraba realitatea este modelata folosind dualitatea unda-particula. Principiul incertitudinii al lui Heisenberg este o consecinta a acestui fapt. Amplitudinea undei asociate cu o particula corespunde pozitiei ei, iar lungimea de unda (mai exact, Transformata Fourier a acesteia) este invers proportionala cu impulsul. Pentru a localiza unda astfel incat ea sa aiba un maxim ingust (adica o incertitudine a pozitiei mica), este necesar sa fie incorporate unde cu lungime foarte mica, corespunzatoare unor impulsuri mari dupa toate directiile, si astfel o incertitudine mare a impulsului. Intr-adevar, Principiul lui Heisenberg este echivalent cu o teorema din analiza functionala care spune ca deviatia standard a valorii absolute la patrat a unei functii, inmultita cu deviatia standard a valorii absolute a transformatei sale Fourier, este cel putin 1/(16p^2) (Folland si Sitaram, Teorema 1.1). O analogie utila poate fi facuta intre unda asociata unei particule din mecanica cuantica si o unda mai bine cunoscuta, semnalul variabil in timp asociat cu o unda sonora. Nu are sens intrebarea privind spectrul de frecventa la un anumit moment din timp, deoarece masurarea frecventei este masura unei repetitii intr-o perioada de timp. Intr-adevar, pentru ca un semnal sa aiba o frecventa relativ bine definita, trebuie ca el sa persiste o perioada lunga de timp, si similar, un semnal care are loc la un moment de timp bine definit (adica e de scurta durata) va contine obligatoriu o banda de frecvente larga. Adica, intr-adevar, este o analogie matematica apropiata de Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg. Principiul incertitudinii versus efectul de observator[modificare | modificare sursa] Microscopul cu raze gamma al lui Heisenberg, pentru localizarea unui electron (aratat cu albastru). Raza gamma (aratata cu verde) este reflectata de electron sub unghiul de deschidere al microscopului th. Raza reflectata este aratata cu rosu. Optica clasica arata ca pozitia electronului poate fi determinata doar cu o incertitudine Dx care depinde de th si de lungimea de unda l a luminii. Principiul incertitudinii din mecanica cuantica este uneori eronat explicat prin afirmatia ca masurarea pozitiei obligatoriu modifica impulsul unei particule, si vice versa -- adica se spune ca principiul incertitudinii este o manifestare a efectului de observator. Intr-adevar, Heisenberg insusi initial a dat explicatii care au sugerat aceasta vedere. Inaintea unor interpretari mai moderne, o masurare era adesea vizualizata ca o denaturare fizica aplicata direct asupra sistemului masurat, fiind uneori ilustrata sub forma unui experiment imaginar numit Microscopul lui Heisenberg. De exemplu, la masurarea pozitiei unui electron, ne inchipuim luminarea electronului, si astfel intervenirea asupra lui si producerea incertitudinilor cuantice asupra pozitiei sale. Paradoxul EPR indica faptul ca este gresit ca principiul incertitudinii sa fie vazut ca o masurare care afecteaza direct o particula. Acest "paradox" arata ca o masuratoare poate fi efectuata asupra unei particule fara a o afecta direct, prin masurarea unei particule asociate acesteia si aflate la distanta. O alta problema cu aceasta vedere este aceea ca induce o perceptie gresita asupra masurarii din mecanica cuantica. Pentru a testa principiul incertitudinii, un fizician ipotetic ar folosi o anume procedura de mai multe ori pentru a pregati un ansamblu de particule aflate in aceeasi stare cuantica. Pentru jumatate din acest ansamblu, ar masura pozitia, dand o distributie de probabilitate pentru pozitie. Pentru cealalta jumatate a ansamblului, ar masura impulsul, dand o distributie de probabilitate pentru impuls. In cele din urma, s-ar calcula produsul deviatiilor standard ale celor doua distributii, rezultand o valoare de cel putin [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar /2}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \hbar /2} . In aceasta situatie, pozitia si impulsul nu se vor putea niciodata masura de mai multe ori pentru aceeasi particula. (Daca s-ar putea, atunci rezultatul celei de-a doua masuratori nu vor reflecta starea originala, datorita aplicarii corecte a efectului de observator.) De aceea, o masurare nu o poate afecta pe cealalta. Mai mult, desi fiecare masurare prabuseste starea cuantica a particulei, distributia de probabilitate rezultata din aceste masuratori va reflecta corect starea cuantica asa cum exista ea inaintea masuratorii. In orice caz, este acum inteles ca incertitudinile din cadrul unui sistem exista inainte si independent de masuratoare, iar principiul incertitudinii este astfel independent de efectul de observator. Generalizarea, formularea exacta si relatia Robertson-Schroedinger[modificare | modificare sursa] Masurarile pozitiei si impulsului efectuate pe copii identice ale unui sistem aflat intr-o stare data vor varia fiecare conform unei distributii de probabilitate caracteristica starii sistemului. Aceasta este postulatul fundamental al mecanicii cuantice. Daca vom calcula deviatiile standard Dx si Dp ale masurarii pozitiei, respectiv impulsului, atunci [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>x</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>p</mi> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}} unde [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \hbar } (h-bar) este Constanta Planck redusa (Constanta lui Planck impartita la 2p). Mai general, dat fiind orice operatori Hermitici A si B, si un sistem in starea q, exista distributii de probabilitate asociate cu masurarea lui A si a lui B, dand deviatiile standard D[q]A and D[q]B. Atunci: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace"/> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>B</mi> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mrow> <mo>⟨</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⟩</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right|}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right|} unde operatorul [A,B] = AB - BA reprezinta comutatorul lui A si B, iar [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>X</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }} reprezinta valoarea asteptata. Aceasta inegalitate se numeste relatia Robertson-Schroedinger, si include Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg drept caz particular. A fost aratata pentru prima oara in 1930 de Howard Percy Robertson si (independent) de Erwin Schroedinger. Alte forme ale principiului incertitudinii[modificare | modificare sursa] Datorita relatiei Robertson-Schroedinger de mai sus, o relatie de incertitudine apare intre oricare doua cantitati observabile care pot fi definite prin operatori care nu comuta. Urmatoarele sunt cateva exemple: * Exista o relatie de incertitudine intre pozitia si impulsul unui obiect: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}} * intre pozitia unghiulara si momentul cinetic: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi mathvariant="normal">TH</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>J</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Theta _{i}\Delta J_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta \Theta _{i}\Delta J_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}} * intre doua componente ortogonale ale operatorului moment cinetic total al unui obiect: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>J</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>J</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo>⟨</mo> <msub> <mi>J</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta J_{i}\Delta J_{j}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta J_{i}\Delta J_{j}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|} unde i, j, k sunt distincte si J[i] reprezinta componenta momentului cinetic dupa axa x[i]. * intre numarul de electroni dintr-un superconductor si faza parametrului de ordine Ginzburg-Landau: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>N</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>phi </mi> <mo>>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta N\Delta \phi \geq 1}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta N\Delta \phi \geq 1} Principiul incertitudinii energie-timp[modificare | modificare sursa] Spre deosebire de exemplele de mai sus, unele principii de incertitudine nu sunt consecinte directe ale relatiei Robertson-Schroedinger. Cel mai cunoscut dintre acestea este principiul incertitudinii energie-timp. Aplicand ideile relativitatii restranse asupra principiuluii incertitudinii pozitie-impuls, multi fizicieni, cum ar fi Niels Bohr, au postulat ca ar trebui sa existe urmatoarea relatie: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>E</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>t</mi> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}} , dar nu a fost imediat evident cum ar trebui definit Dt (deoarece timpul nu este tratat ca operator). In 1926, Dirac a oferit o definitie clara si o demonstratie a acestui principiu de incertitudine, ca rezultand dintr-o teorie cuantica relativista a "evenimentelor". Dar cea mai bine cunoscuta, mai des folosita si corecta formulare a fost data abia in 1945 de catre L. I. Mandelshtam si I. E. Tamm, dupa cum urmeaza. Pentru un sistem cuantic aflat intr-o stare nestationara [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle |\psi \rangle } si o observabila [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle B} reprezentata de un operator autoadjunct [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {B}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle {\hat {B}}} , este valabila urmatoarea formula: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi }E{\frac {\Delta _{\psi }B}{\left|{\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {B}}\rangle }{\mathrm {d} t}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta _{\psi }E{\frac {\Delta _{\psi }B}{\left|{\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {B}}\rangle }{\mathrm {d} t}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}} , unde [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi }E}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta _{\psi }E} este deviatia standard a operatorului energie in starea [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle |\psi \rangle } , [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi }B}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta _{\psi }B} reprezinta deviatia standard a operatorului [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {B}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle {\hat {B}}} si [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle }</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle } este valoarea asteptata a lui [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {B}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle {\hat {B}}} in acea stare. Desi al doilea factor din partea stanga are dimensiune de timp, el este diferit de parametrul timp din Ecuatia Schroedinger. Este un timp de viata a starii [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle |\psi \rangle } fata de observabila [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle B} . Cu alte cuvinte, acesta este timpul dupa care valoarea asteptata [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle }</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle } se schimba apreciabil. Principiul incertitudinii energie-timp are implicatii mari in spectroscopie. Deoarece starile excitate au un timp de viata finit, nu toate elibereaza aceeasi cantitate de energie cand degenereaza; varfurile spectroscopice sunt de fapt maxime cu largime finita (numite largime naturala), cu centrul in dreptul energiei reale a starii excitate. Pentru starile care degenereaza rapid, largimea face dificila masurarea precisa a acestei energii reale, si intr-adevar, cercetatorii au folosit cavitati de microunde pentru a incetini rata de degenerare, pentru a obtine maxime mai abrupte si masurari mai precise ale energiei (Gabrielse and Dehmelt 1985). O formulare falsa deosebit de raspandita a principiului incertitudinii energie-timp spune ca energia unui sistem cuantic masurata in intervalul de timp [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta t} trebuie sa fie imprecisa, cu imprecizia [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta E} data de inegalitatea [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>E</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>t</mi> <mo>>=</mo> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E\Delta t\geq \hbar /2}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta E\Delta t\geq \hbar /2} . Aceasta formulare a fost explicit infirmata de Y. Aharonov si D. Bohm in 1961. Intr-adevar, se poate determina energia exacta a unui sistem cuantic intr-un interval de timp arbitrar de scurt. Mai mult, dupa cum arata unele cercetari recente, pentru sisteme cuantice cu spectre discrete de energie, produsul [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>E</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E\Delta t}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta E\Delta t} este limitat superior de un zgomot statistic care dispare daca sunt folosite suficient de multe copii identice ale sistemului. Aceasta limita superioara care dispare elimina in mod cert posibilitatea unei limite inferioare, contrazicand din nou aceasta falsa formulare a principiului incertitudinii energie-timp. Demonstratie[modificare | modificare sursa] Principiul incertitudinii are o demonstratie matematica simpla. Pasul cheie este aplicarea inegalitatii Cauchy-Schwarz, una din cele mai utile teoreme din algebra liniara. Pentru doi operatori hermitici arbitrari A: H -> H si B: H -> H, si orice element x din H, atunci [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>*</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle BAx|x\rangle =\langle Ax|Bx\rangle =\langle Bx|Ax\rangle ^{*}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \langle BAx|x\rangle =\langle Ax|Bx\rangle =\langle Bx|Ax\rangle ^{*}} Intr-un spatiu cu produs scalar, este valabila inegalitatea Cauchy-Schwarz. [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo><=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}\leq \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}\leq \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}} Rearanjand aceasta formula obtinem: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>>=</mo> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>>=</mo> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">I</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mspace width="thinmathspace"/> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">I</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>-</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>*</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>-</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>-</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo>-</mo> <mi>B</mi> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}\geq \left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}&\geq \left|\mathrm {Im} \{\langle Bx|Ax\rangle \}\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|2\,\mathrm {Im} \{\langle Bx|Ax\rangle \}\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle Bx|Ax\rangle -\langle Bx|Ax\rangle ^{*}\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle Bx|Ax\rangle -\langle Ax|Bx\rangle \right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle ABx|x\rangle -\langle BAx|x\rangle \right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}|\langle (AB-BA)x|x\rangle |^{2}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle {\begin{aligned}\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}\geq \left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}&\geq \left|\mathrm {Im} \{\langle Bx|Ax\rangle \}\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|2\,\mathrm {Im} \{\langle Bx|Ax\rangle \}\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle Bx|Ax\rangle -\langle Bx|Ax\rangle ^{*}\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle Bx|Ax\rangle -\langle Ax|Bx\rangle \right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle ABx|x\rangle -\langle BAx|x\rangle \right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}|\langle (AB-BA)x|x\rangle |^{2}\end{aligned}}} Aceasta da o forma a relatiei Robertson-Schroedinger: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo><=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{4}}|\langle [A,B]x|x\rangle |^{2}\leq \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2},}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle {\frac {1}{4}}|\langle [A,B]x|x\rangle |^{2}\leq \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2},} unde operatorul [A,B] = AB - BA reprezinta comutatorul lui A si B. Pentru a lamuri intelesul fizic al acestei inegalitati, ea este adesea scrisa in forma: [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace"/> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>B</mi> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mrow> <mo>⟨</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⟩</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right|}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right|} unde [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo>⟨</mo> <mi>X</mi> <mo>⟩</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>⟨</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>X</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mo>⟩</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle X\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi |X\psi \right\rangle }</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \left\langle X\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi |X\psi \right\rangle } este operatorul medie al observabilei X in starea sistemului q si [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> <msubsup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi }X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {X}\rangle _{\psi }^{2}}}}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle \Delta _{\psi }X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {X}\rangle _{\psi }^{2}}}} este operatorul deviatie standard al observabilei X in starea sistemului q. Aceasta formulare se poate deduce din formularea de mai sus inlocuind A cu [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>-</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A-\langle A\rangle _{\psi }}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle A-\langle A\rangle _{\psi }} si B cu [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>-</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B-\langle B\rangle _{\psi }}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle B-\langle B\rangle _{\psi }} , si folosind faptul ca [MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>A</mi> <mo>-</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>-</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [A,B]=[A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle ].}</annotation> </semantics> :MATH] {\displaystyle [A,B]=[A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle ].} Aceasta formulare isi obtine interpretarea fizica indicata de terminologia sugestiva "medie" si "deviatie standard", datorita proprietatilor masurarii in mecanica cuantica. Relatii de incertitudine particulare, cum ar fi pozitie-impuls, pot fi de regula deduse printr-o aplicare imediata a acestei inegalitati. Istorie si interpretari[modificare | modificare sursa] Articol principal: Interpretarea mecanicii cuantice. Principiul Incertitudinii a fost dezvoltat ca raspuns la intrebarea: Cum masuram pozitia unui electron in jurul unui nucleu? In vara lui 1922, Heisenberg s-a intalnit cu Niels Bohr, parintele fondator al mecanicii cuantice, iar in Septembrie 1924 Heisenberg a mers la Copenhaga, unde Bohr il invitase ca cercetator asociat si mai tarziu ca asistent. In 1925 Werner Heisenberg a enuntat principiile de baza a unei mecanici cuantice complete. In acest nou context, el a inlocuit variabilele comutative clasice cu unele necomutative. Lucrarea lui Heisenberg a marcat o radicala desprindere de tentativele anterioare de rezolvare a problemelor atomice cu ajutorul doar al cantitatilor observabile. El scria intr-o scrisoare din 1925: "Toate eforturile mele se indreapta spre a ucide si a inlocui conceptul de cale orbitala care nu poate fi observata." Decat sa se lupte cu complexitatile orbitelor tridimensionale, Heisenberg s-a ocupat de mecanica unui sistem oscilant unidimensional, un oscilator nearmonic. Rezultatul a constat in formule in care numerele cuantice erau legate de frecvente si intensitati observabile ale radiatiilor. In Martie 1926, lucrand in institutul lui Bohr, Heisenberg a formulat principiul incertiturinii punand astfel bazele a ceea ce a fost mai tarziu cunoscut drept interpretarea Copenhaga a mecanicii cuantice. Albert Einstein nu a fost multumit de principiul incertitudinii aratandu-si nemultumirea prin celebra replica "Dumnezeu nu joaca zaruri" la care i-a fost replicat "Atunci nu-i mai spune lui Dumnezeu ce sa faca cu ele"(aceasta replica se refera bineinteles la Teoria Relativitatii in care fiecare eveniment este cat de cat previzibil ex: zarul pare imprevizibil, dar daca stii densitatea aerului, viteza vantului, viteza zarului, masa zarului, viteza de rotatie a lui, etc. poti practic sa spui cum va cadea zarul). Nemultumit, Einstein i-a provocat pe Niels Bohr si Werner Heisenberg cu un celebru experiment imaginar (Vezi Dezbaterile Bohr-Einstein pentru detalii): umplem o cutie cu material radioactiv care emite aleator radiatie. Cutia are o trapa, care este deschisa si imediat inchisa de un ceas la un moment exact de timp, astfel permitand radiatiei sa iasa. Deci momentul este deja cunoscut cu precizie. Inca mai vrem sa masuram variabila conjugata energie cu exactitate. Einstein a propus sa se cantareasca cutia inainte si dupa. Echivalenta dintre masa si energie din Relativitatea restransa va permite determinarea cu precizie a cantitatii de energie care a iesit din cutie. Bohr a raspuns dupa cum urmeaza: daca iese energie, atunci cutia care ramane mai usoara se va ridica pe cantar. Aceasta modifica pozitia ceasului. Astfel ceasul deviaza din sistemul de referinta, si prin relativitatea generalizata, masurarea timpului va fi diferita de a noastra, conducand la o marja de eroare inevitabila. De fapt, o analiza detaliata arata ca imprecizia este data corect de relatia lui Heisenberg. Termenul interpretarea Copenhaga a mecanicii cuantice a fost adesea folosit ca sinonim pentru Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg de catre cei care credeau in destin si determinism si vedeau trasaturile teoriei Bohr-Heisenberg ca o amenintare. In cadrul interpretarii Copenhaga, acceptata pe scara larga (dar nu universal) a mecanicii cuantice (nu a fost acceptata de Einstein si alti fizicieni ca Alfred Lande), principiul incertitudinii este inteles astfel: la nivel elementar, universul fizic nu exista intr-o forma determnista -- el exista ca o colectie de probabilitati, sau potentiale. De exemplu, distributia de probabilitate produsa de milioane de fotoni trecand printr-o fanta de difractie poate fi calculata cu ajutorul mecanicii cuantice, dar calea exacta a fiecarui foton nu poate fi prezisa prin nicio metoda cunoscuta. Interpretarea Copenhaga sustine ca nu poate fi prezisa prin nicio metoda, nici macar cu instrumente de precizie teoretic infinita. Aceasta interpretare a fost pusa sub semnul intrebarii de Einstein cand a spus "Nu pot sa cred ca Dumnezeu ar alege sa joace zaruri cu universul." Bohr, unul din autorii interpretarii Copenhaga a raspuns, "Einstein, nu-i spune tu lui Dumnezeu ce sa faca." Niels Bohr insusi a recunoscut ca mecanica cuantica si principiul incertitudinii sunt contraintuitive cand a afirmat: "Cine nu e socat de teoria cuantica nu a inteles nici un cuvant din ea." Dezbaterea de baza dintre Einstein si Bohr (inclusiv Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg) a fost bazata pe faptul ca Einstein spunea in esenta: "Bineinteles ca putem sa stim unde este un lucru; putem sti pozitia unei particule in miscare daca stim fiecare detaliu posibil, si astfel, prin extensie, putem prezice unde se va duce." Bohr si Heisenberg spuneau: "Putem sti doar pozitia probabila a unei particule in miscare, de aceea, prin extensie, putem sti destinatia ei probabila; nu putem sti cu certitudine unde se va duce." Einstein era convins ca aceasta interpretare era gresita. Rationamentul lui era ca toate distributiile de probabilitate cunoscute pana atunci reieseau din evenimente deterministe. Distributia aruncarii unei monede sau a zarurilor poate fi descrisa cu o distributie de probabilitate (50% cap, 50% pajura), dar asta nu inseamna ca miscarile lor fizice sunt imprevizibile. Mecanica clasica poate fi folosita pentru a calcula exact cum va ateriza fiecare moneda, daca se cunosc fortele care actioneaza. Iar distributia cap/pajura se va alinia cu distributia de probabilitate (date fiind forte initiale aleatorii). Einstein a presupus ca, similar exista variabile ascunse si in mecanica cuantica, si care stau la baza probabilitatilor observate si ca aceste variable, odata cunoscute, ar arata ca exista ceea ce Einstein a numit "realism local," o descriere opusa principiului incertitudinii, dat fiind ca toate obiectele trebuie sa aiba deja proprietatile lor inainte ca acestea sa fie masurate. Mare parte din secolul XX, au fost propuse multe astfel de teorii ale variabilelor ascunse, dar in 1964 John Bell a teoretizat inegalitatea Bell pentru a le contrazice, inegalitate care postula ca desi comportamentul unei particule individuale este aleator, el este corelat cu comportamentul altor particule. De aceea, daca principiul incertitudinii este rezultatul unui proces determinist in care o particula are realism local, trebuie sa fie cazul ca particule aflate la distante mari isi transmit informatii unele altora pentru a se asigura ca corelarile comportamentale intre particule au loc. Interpretarea teoremei lui Bell opreste in mod explicit orice teorie a variabilelor ascunse sa fie adevarata, pentru ca arata necesitatea unui sistem de a descrie corelatii intre obiecte. Implicatia este ca, daca o variabila locala ascunsa cauzeaza pozitionarea particulei 1, atunci o a doua variabila locala ascunsa va fi responsabila pentru pozitia particulei 2 -- si nu exista un sistem care sa faca o corelatie intre ele. Experimentele au demonstrat ca o corelatie exista. In anii ce au urmat, teorema lui Bell a fost testata si confirmata experimental de numeroase ori, iar aceste experimente sunt intr-un fel cele mai clare confirmari experimentale ale mecanicii cuantice. Merita observat ca teorema lui Bell se aplica doar la teoriile variabilelor locale ascunse; teoriile variabilelor ascunse nelocale pot sa existe (ceea ce unii, inclusiv Bell, cred ca pot face legatura conceptuala intre mecanica cuantica si lumea observabila). Daca parerea lui Einstein sau cea a lui Heisenberg este adevarata sau falsa nu este o problema empirica simpla. Un criteriu prin care am putea judeca succesul unei teorii stiintifice este puterea de explicare pe care aceasta ne-o da, si pana acum se pare ca vederea lui Heisenberg a fost mai buna la a explica fenomenele subatomice. Cultura populara[modificare | modificare sursa] Principiul incertitudinii este enuntat in mai multe feluri in cultura populara, de exemplu, prin afirmatia ca este imposibil de stiut exact in acelasi timp si unde se afla un electron si unde se duce. Este corect in linii mari, desi nu se spune o parte importanta a principiului lui Heisenberg, care este limita cantitativa a incertitudinii. Heisenberg a spus ca este imposibil sa se determine simultan si cu precizie nelimitata pozitia si impulsul unei particule, dar datorita faptului ca valoarea constantei lui Planck este atat de mica, Principiul Incertitudinii se poate aplica doar miscarii particulelor atomice. Totusi, cultura adesea interpreteaza gresit acest lucru, spunand ca este imposibil teoretic sa se faca o masuratoare perfect precisa. Piesa lui Michael Frayn Copenhagen prezinta unele din procesele care au dus la formarea Principiului Incertitudinii. Piesa dramatizeaza intalnirile dintre Werner Heisenberg si Niels Bohr. Ea evidentiaza, de asemenea, discutia asupra muncii depuse de ambii pentru realizarea bombei nucleare - Heisenberg pentru Germania si Bohr pentru Statele Unite si fortele aliate. In filmul din 1997 The Lost World: Jurassic Park, haosticianul Ian Malcolm sustine ca efortul "de a observa si documenta, nu de a interactiona" cu dinozaurii este o imposibilitate stiintifica datorita "Principiului Incertitudinii al lui Heisenberg, orice ai studia, il schimbi." Aceasta e o confuzie cu efectul de observator, explicata mai sus. In serialul de televiziune Star Trek: The Next Generation, transportatoarele fictive folosite pentru a "teleporta" personaje la diferite locatii depaseau limitarile asupra esantionarii subiectului datorita principiului incertitudinii prin folosirea de "compensatoare Heisenberg." Cand a fost intrebat, "Cum functioneaza compensatoarele Heisenberg?" de reporterii Time magazine pe 28 November 1994, Michael Okuda, consilier tehnic al Star Trek, a raspuns, "Foarte bine, multumesc."^[1] Intr-un episod din serialul Aqua Teen Hunger Force, Meatwad (transformat temporar intr-un geniu) incearca sa explice incorect Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg lui Frylock pentru a explica nou gasita sa inteligenta. "Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg ne spune ca la o curbura anume a spatiului, stiinta poate fi convertita in energie ... sau, si asta este cheia, in materie." Intr-un episod din Stargate SG-1, Samantha Carter explica, folosindu-se de principiul incertitudinii, ca viitorul nu este predeterminat, iar posibilitatile pot fi doar calculate. Note[modificare | modificare sursa] 1. ^ "Reconfigure the Modulators!". Time Magazine. 28 noiembrie 1994. Bibliografie[modificare | modificare sursa] * W. Heisenberg, "Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik", Zeitschrift fuer Physik, 43 1927, pp. 172-198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62-84. * L. I. Mandelshtam, I. E. Tamm "The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics", Izv. Akad. Nauk SSSR (ser. fiz.) 9, 122-128 (1945). English translation: J. Phys. (USSR) 9, 249-254 (1945). * G. Folland, A. Sitaram, "The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey", Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207-238. * G. Gabrielse, H. Dehmelt, "Observation of Inhibited Spontaneous Emission", Physical Review Letters, 55 (1985), 67-70. * Viasat History:Biografia lui Einstein * E. Spolschi, Fizica atomica, vol 1, Editura Tehnica, 1952, pp. 353-354, 360-367 Legaturi externe[modificare | modificare sursa] * Matter as a Wave - un capitol dintr-o carte electronica * The Uncertainty Relations: Description, Applications pe Project PHYSNET * Quantum mechanics: Myths and facts * Stanford Encyclopedia of Philosophy entry * aip.org: Quantum mechanics 1925-1927 - The uncertainty principle * Eric Weisstein's World of Physics - Uncertainty principle * Schroedinger equation from an exact uncertainty principle * John Baez on the time-energy uncertainty relation v o d o m Fizica cuantica Teorie cuantica veche Constanta Planck o Cuanta o Difractia electronilor o Dualismul corpuscul-unda o Formula lui Planck o Ipoteza De Broglie o Modelul atomic Bohr o Numar cuantic Mecanica cuantica Ecuatia lui Dirac o Ecuatia lui Schroedinger o Efectul tunel o Functie de unda o Hamiltonian (mecanica cuantica) o Inseparabilitate cuantica o Interpretarea Copenhaga o Interpretarile mecanicii cuantice o Introducere in mecanica cuantica o Mecanica cuantica o Moment cinetic (mecanica cuantica) o Notatia bra-ket o Operator statistic o Oscilatorul armonic liniar o Particule identice o Principiul de excluziune o Principiul incertitudinii o Reprezentarea numerelor de ocupare o Spin (fizica) o Spin 1/2 si matricile lui Pauli Teorie cuantica relativista Ecuatia Schroedinger neliniara o Electrodinamica cuantica o Ruperea spontana a simetriei o Teoria coardelor Proiect:Mecanica cuantica Informatii bibliotecare * BNE: XX4701819 * BNF: cb119791102 (data) * GND: 4186953-9 * LCCN: sh85059968 * NDL: 00563607 * SUDOC: 027834964 Adus de la https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Principiul_incertitudinii&ol did=14746125 Categorii: * Principii ale fizicii * Mecanica cuantica * 1927 in stiinta * Legi ale fizicii Categorii ascunse: * Articole de verificat * Articole Wikipedia cu identificatori BNE * Articole Wikipedia cu identificatori BNF * Articole Wikipedia cu identificatori GND * Articole Wikipedia cu identificatori LCCN * Articole Wikipedia cu identificatori NDL * Articole Wikipedia cu identificatori SUDOC * Articole Wikipedia cu control de autoritate Meniu de navigare Unelte personale * Nu sunteti autentificat * Discutii * Contributii * Creare cont * Autentificare Spatii de nume * Articol * Discutie [ ] romana expanded collapsed Vizualizari * Lectura * Modificare * Modificare sursa * Istoric [ ] Mai mult expanded collapsed Cautare ____________________ Cautare Salt Navigare * Pagina principala * Schimbari recente * Cafenea * Articol aleatoriu * Facebook Participare * Cum incep pe Wikipedia * Ajutor * Portaluri tematice * Articole cerute * Donatii Trusa de unelte * Ce trimite aici * Modificari corelate * Trimite fisier * Pagini speciale * Navigare in istoric * Informatii despre pagina * Citeaza acest articol * Element Wikidata Tiparire/exportare * Creare carte * Descarcare ca PDF * Versiune de tiparit In alte proiecte * Wikimedia Commons In alte limbi * Afrikaans * a+l+e+r+b+y+tm * Asturianu * Az@rbaycanca * Belaruskaya * B"lgarski * * Bosanski * Catal`a * Cestina * Dansk * Deutsch * Ellynika' * English * Esperanto * Espanol * Eesti * Euskara * f+a+r+s+ * Suomi * Franc,ais * Gaeilge * Galego * E+B+R+J+T+ * * Hrvatski * Magyar * * Bahasa Indonesia * Italiano * * azasha * * * Lietuviu * Latviesu * Makedonski * * * m+a+z+1+r+w+n+ * Nederlands * Norsk nynorsk * Norsk bokmaal * * Polski * Portugues * Russkij * Srpskohrvatski / srpskohrvatski * Simple English * Slovencina * Slovenscina * Srpski / srpski * Svenska * Kiswahili * * * Tagalog * Tuerkc,e * Tatarcha/tatarc,a * Ukrayins'ka * Tie>'ng Vie>-.t * * J+J+iD+J+Sh * * * Modifica legaturile * Ultima editare a paginii a fost efectuata la 13 ianuarie 2022, ora 09:33. * Acest text este disponibil sub licenta Creative Commons cu atribuire si distribuire in conditii identice; pot exista si clauze suplimentare. Vedeti detalii la Termenii de utilizare. * Politica de confidentialitate * Despre Wikipedia * Termeni * Versiune mobila * Dezvoltatori * Statistici * Declaratie cookie * Wikimedia Foundation * Powered by MediaWiki