.
#alternate Modificare Wikipedia (ro)
IFRAME:
https://archive.org/includes/donate.php?as_page=1&platform=wb&referer=h
ttps%3A//web.archive.org/web/20220311083250/https%3A//ro.wikipedia.org/
wiki/Principiul_incertitudinii
Wayback Machine
https://ro.wikipedia Go
Dec MAR Jul
Previous capture 11 Next capture
2020 2022 2023
success
fail
About this capture
COLLECTED BY
Collection: Media Cloud
A longitudinal web archival collection based on URIs from the daily
feed of Media Cloud that maps news media coverage of current events.
TIMESTAMPS
loading
The Wayback Machine -
https://web.archive.org/web/20220311083250/https://ro.wikipedia.org/wik
i/Principiul_incertitudinii
Principiul incertitudinii
De la Wikipedia, enciclopedia libera
Sari la navigare Sari la cautare
Noia 64 apps help index.png
Aceasta pagina (sectiune) necesita o verificare.
__________________________________________________________________
Stergeti eticheta numai dupa rezolvarea problemelor.
In mecanica cuantica, chiar si rezultatul unei masuratori a unui sistem
nu este determinist, ci este caracterizat printr-o distributie de
probabilitate, in care cu cat este mai mare deviatia standard, cu atat
mai multa "incertitudine" se va putea spune ca respectiva
caracteristica este pentru acel sistem. Principiul incertitudinii al
lui Heisenberg da o limita inferioara asupra produsului deviatiilor
standard ale pozitiei si impulsului unui sistem, specificand ca este
imposibil sa avem o particula cu un impuls si o pozitie arbitrar de
bine definite simultan. Mai precis, produsul deviatiilor standard
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi>
<mi>x</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>p</mi> <mo>>=</mo> <mi
class="MJX-variant">\hbar </mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\Delta p\geq \hbar
/2}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta x\Delta p\geq \hbar /2} , unde
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">\hbar
</mi> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \hbar } este Constanta Planck redusa. Principiul este
susceptibil de generalizare la multe alte perechi de marimi, afara de
pozitie si impuls (de exemplu, impulsul unghiular pe doua axe de
coordonate diferite), si poate fi derivat euristic.
De observat ca incertitudinile in chestiune sunt caracteristice ale
marimilor mecanice. In orice masurare din lumea reala, vor fi
incertitudini aditionale create de procesul de masurare care nu este
nici perfect, nici ideal. Principiul incertitudinii este valabil chiar
daca masuratorile sunt ideale (asa numite masuratori von Neumann) sau
neideale (masuratori Landau). De observat ca si produsul
incertitudinilor, de ordinul 10^-35 Joule-secunda, este atat de mic
incat principiul incertitudinii are efect neglijabil la scara
macroscopica, in ciuda importantei pe care o are la nivel atomic sau
subatomic.
Principiul incertitudinii a fost un pas important in dezvoltarea
mecanicii cuantice cand a fost formulat de Werner Heisenberg in 1927.
Este adesea confundat cu efectul de observator.
[ ]
Cuprins
* 1 Dualitatea unda-particula
* 2 Principiul incertitudinii versus efectul de observator
* 3 Generalizarea, formularea exacta si relatia
Robertson-Schroedinger
+ 3.1 Alte forme ale principiului incertitudinii
+ 3.2 Principiul incertitudinii energie-timp
* 4 Demonstratie
* 5 Istorie si interpretari
* 6 Cultura populara
* 7 Note
* 8 Bibliografie
* 9 Legaturi externe
Dualitatea unda-particula[modificare | modificare sursa]
Articol principal: Dualitatea unda-particula.
Werner Heisenberg in 1927
Un postulat fundamental al mecanicii cuantice, care se manifesta in
principiul incertitudinii al lui Heisenberg, este acela ca nici un
fenomen fizic nu poate fi descris (cu precizie arbitrara) ca "particula
punctiforma clasica" sau ca unda ci mai degraba realitatea este
modelata folosind dualitatea unda-particula.
Principiul incertitudinii al lui Heisenberg este o consecinta a acestui
fapt. Amplitudinea undei asociate cu o particula corespunde pozitiei
ei, iar lungimea de unda (mai exact, Transformata Fourier a acesteia)
este invers proportionala cu impulsul. Pentru a localiza unda astfel
incat ea sa aiba un maxim ingust (adica o incertitudine a pozitiei
mica), este necesar sa fie incorporate unde cu lungime foarte mica,
corespunzatoare unor impulsuri mari dupa toate directiile, si astfel o
incertitudine mare a impulsului. Intr-adevar, Principiul lui Heisenberg
este echivalent cu o teorema din analiza functionala care spune ca
deviatia standard a valorii absolute la patrat a unei functii,
inmultita cu deviatia standard a valorii absolute a transformatei sale
Fourier, este cel putin 1/(16p^2) (Folland si Sitaram, Teorema 1.1).
O analogie utila poate fi facuta intre unda asociata unei particule din
mecanica cuantica si o unda mai bine cunoscuta, semnalul variabil in
timp asociat cu o unda sonora. Nu are sens intrebarea privind spectrul
de frecventa la un anumit moment din timp, deoarece masurarea
frecventei este masura unei repetitii intr-o perioada de timp.
Intr-adevar, pentru ca un semnal sa aiba o frecventa relativ bine
definita, trebuie ca el sa persiste o perioada lunga de timp, si
similar, un semnal care are loc la un moment de timp bine definit
(adica e de scurta durata) va contine obligatoriu o banda de frecvente
larga. Adica, intr-adevar, este o analogie matematica apropiata de
Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg.
Principiul incertitudinii versus efectul de observator[modificare |
modificare sursa]
Microscopul cu raze gamma al lui Heisenberg, pentru localizarea unui
electron (aratat cu albastru). Raza gamma (aratata cu verde) este
reflectata de electron sub unghiul de deschidere al microscopului th.
Raza reflectata este aratata cu rosu. Optica clasica arata ca pozitia
electronului poate fi determinata doar cu o incertitudine Dx care
depinde de th si de lungimea de unda l a luminii.
Principiul incertitudinii din mecanica cuantica este uneori eronat
explicat prin afirmatia ca masurarea pozitiei obligatoriu modifica
impulsul unei particule, si vice versa -- adica se spune ca principiul
incertitudinii este o manifestare a efectului de observator.
Intr-adevar, Heisenberg insusi initial a dat explicatii care au sugerat
aceasta vedere. Inaintea unor interpretari mai moderne, o masurare era
adesea vizualizata ca o denaturare fizica aplicata direct asupra
sistemului masurat, fiind uneori ilustrata sub forma unui experiment
imaginar numit Microscopul lui Heisenberg. De exemplu, la masurarea
pozitiei unui electron, ne inchipuim luminarea electronului, si astfel
intervenirea asupra lui si producerea incertitudinilor cuantice asupra
pozitiei sale.
Paradoxul EPR indica faptul ca este gresit ca principiul incertitudinii
sa fie vazut ca o masurare care afecteaza direct o particula. Acest
"paradox" arata ca o masuratoare poate fi efectuata asupra unei
particule fara a o afecta direct, prin masurarea unei particule
asociate acesteia si aflate la distanta.
O alta problema cu aceasta vedere este aceea ca induce o perceptie
gresita asupra masurarii din mecanica cuantica. Pentru a testa
principiul incertitudinii, un fizician ipotetic ar folosi o anume
procedura de mai multe ori pentru a pregati un ansamblu de particule
aflate in aceeasi stare cuantica. Pentru jumatate din acest ansamblu,
ar masura pozitia, dand o distributie de probabilitate pentru pozitie.
Pentru cealalta jumatate a ansamblului, ar masura impulsul, dand o
distributie de probabilitate pentru impuls. In cele din urma, s-ar
calcula produsul deviatiilor standard ale celor doua distributii,
rezultand o valoare de cel putin
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">\hbar
</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn>
</mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar /2}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \hbar /2} .
In aceasta situatie, pozitia si impulsul nu se vor putea niciodata
masura de mai multe ori pentru aceeasi particula. (Daca s-ar putea,
atunci rezultatul celei de-a doua masuratori nu vor reflecta starea
originala, datorita aplicarii corecte a efectului de observator.) De
aceea, o masurare nu o poate afecta pe cealalta. Mai mult, desi fiecare
masurare prabuseste starea cuantica a particulei, distributia de
probabilitate rezultata din aceste masuratori va reflecta corect starea
cuantica asa cum exista ea inaintea masuratorii.
In orice caz, este acum inteles ca incertitudinile din cadrul unui
sistem exista inainte si independent de masuratoare, iar principiul
incertitudinii este astfel independent de efectul de observator.
Generalizarea, formularea exacta si relatia Robertson-Schroedinger[modificare
| modificare sursa]
Masurarile pozitiei si impulsului efectuate pe copii identice ale unui
sistem aflat intr-o stare data vor varia fiecare conform unei
distributii de probabilitate caracteristica starii sistemului. Aceasta
este postulatul fundamental al mecanicii cuantice.
Daca vom calcula deviatiile standard Dx si Dp ale masurarii pozitiei,
respectiv impulsului, atunci
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mi>x</mi> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mi>p</mi> <mo>>=</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">\hbar
</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\Delta p\geq
{\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}
unde
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi
class="MJX-variant">\hbar </mi> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \hbar } (h-bar) este Constanta Planck redusa
(Constanta lui Planck impartita la 2p).
Mai general, dat fiind orice operatori Hermitici A si B, si un sistem
in starea q, exista distributii de probabilitate asociate cu masurarea
lui A si a lui B, dand deviatiile standard D[q]A and D[q]B. Atunci:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>A</mi> <mspace
width="thinmathspace"/> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub>
<mi>B</mi> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac>
<mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub>
<mrow> <mo>⟨</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>]</mo>
</mrow> <mo>⟩</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta
_{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle
\left[{A},{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right|}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac
{1}{2}}\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle
_{\psi }\right|}
unde operatorul [A,B] = AB - BA reprezinta comutatorul lui A si B, iar
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>X</mi> <msub> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle X\rangle _{\psi
}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }} reprezinta valoarea
asteptata. Aceasta inegalitate se numeste relatia
Robertson-Schroedinger, si include Principiul Incertitudinii al lui
Heisenberg drept caz particular. A fost aratata pentru prima oara in
1930 de Howard Percy Robertson si (independent) de Erwin Schroedinger.
Alte forme ale principiului incertitudinii[modificare | modificare sursa]
Datorita relatiei Robertson-Schroedinger de mai sus, o relatie de
incertitudine apare intre oricare doua cantitati observabile care pot
fi definite prin operatori care nu comuta. Urmatoarele sunt cateva
exemple:
* Exista o relatie de incertitudine intre pozitia si impulsul unui
obiect:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub>
<mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi
class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac>
</mrow> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta
x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar
}{2}}}
* intre pozitia unghiulara si momentul cinetic:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi
mathvariant="normal">TH</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>J</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub>
<mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi
class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac>
</mrow> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Theta
_{i}\Delta J_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta \Theta _{i}\Delta J_{i}\geq {\frac
{\hbar }{2}}}
* intre doua componente ortogonale ale operatorului moment cinetic
total al unui obiect:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>J</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <msub> <mi>J</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub>
<mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi
class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac>
</mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo>⟨</mo> <msub>
<mi>J</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi>
</mrow> </msub> <mo>⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo>
</mrow> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta
J_{i}\Delta J_{j}\geq {\frac {\hbar
}{2}}\left|\left\langle J_{k}\right\rangle
\right|}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta J_{i}\Delta J_{j}\geq {\frac {\hbar
}{2}}\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|}
unde i, j, k sunt distincte si J[i] reprezinta componenta
momentului cinetic dupa axa x[i].
* intre numarul de electroni dintr-un superconductor si faza
parametrului de ordine Ginzburg-Landau:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mi>N</mi> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mi>phi </mi> <mo>>=</mo>
<mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta N\Delta
\phi \geq 1}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta N\Delta \phi \geq 1}
Principiul incertitudinii energie-timp[modificare | modificare sursa]
Spre deosebire de exemplele de mai sus, unele principii de
incertitudine nu sunt consecinte directe ale relatiei
Robertson-Schroedinger. Cel mai cunoscut dintre acestea este principiul
incertitudinii energie-timp.
Aplicand ideile relativitatii restranse asupra principiuluii
incertitudinii pozitie-impuls, multi fizicieni, cum ar fi Niels Bohr,
au postulat ca ar trebui sa existe urmatoarea relatie:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mi>E</mi> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mi>t</mi> <mo>>=</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">\hbar
</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E\Delta t\geq
{\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}} ,
dar nu a fost imediat evident cum ar trebui definit Dt (deoarece timpul
nu este tratat ca operator). In 1926, Dirac a oferit o definitie clara
si o demonstratie a acestui principiu de incertitudine, ca rezultand
dintr-o teorie cuantica relativista a "evenimentelor". Dar cea mai bine
cunoscuta, mai des folosita si corecta formulare a fost data abia in
1945 de catre L. I. Mandelshtam si I. E. Tamm, dupa cum urmeaza. Pentru
un sistem cuantic aflat intr-o stare nestationara
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo
stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle
}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle |\psi \rangle } si o observabila
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle B} reprezentata de un operator autoadjunct
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo
stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat
{B}}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle {\hat {B}}} , este valabila urmatoarea formula:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>E</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow>
<mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover>
<mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow>
<mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow>
</mfrac> </mrow> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac> <mi class="MJX-variant">\hbar </mi> <mn>2</mn> </mfrac>
</mrow> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi
}E{\frac {\Delta _{\psi }B}{\left|{\frac {\mathrm {d} \langle
{\hat {B}}\rangle }{\mathrm {d} t}}\right|}}\geq {\frac {\hbar
}{2}}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta _{\psi }E{\frac {\Delta _{\psi
}B}{\left|{\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {B}}\rangle
}{\mathrm {d} t}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}} ,
unde
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi>
</mrow> </msub> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi
}E}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta _{\psi }E} este deviatia standard a operatorului
energie in starea
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo
stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle
}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle |\psi \rangle } ,
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi>
</mrow> </msub> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi
}B}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta _{\psi }B} reprezinta deviatia standard a
operatorului
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo
stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat
{B}}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle {\hat {B}}} si
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo>
</mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle
}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle } este valoarea asteptata a
lui
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo
stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat
{B}}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle {\hat {B}}} in acea stare. Desi al doilea factor din
partea stanga are dimensiune de timp, el este diferit de parametrul
timp din Ecuatia Schroedinger. Este un timp de viata a starii
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo
stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle
}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle |\psi \rangle } fata de observabila
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle B} . Cu alte cuvinte, acesta este timpul dupa care
valoarea asteptata
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo>
</mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle
}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle } se schimba apreciabil.
Principiul incertitudinii energie-timp are implicatii mari in
spectroscopie. Deoarece starile excitate au un timp de viata finit, nu
toate elibereaza aceeasi cantitate de energie cand degenereaza;
varfurile spectroscopice sunt de fapt maxime cu largime finita (numite
largime naturala), cu centrul in dreptul energiei reale a starii
excitate. Pentru starile care degenereaza rapid, largimea face dificila
masurarea precisa a acestei energii reale, si intr-adevar, cercetatorii
au folosit cavitati de microunde pentru a incetini rata de degenerare,
pentru a obtine maxime mai abrupte si masurari mai precise ale energiei
(Gabrielse and Dehmelt 1985).
O formulare falsa deosebit de raspandita a principiului incertitudinii
energie-timp spune ca energia unui sistem cuantic masurata in
intervalul de timp
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi>
<mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta t} trebuie sa fie imprecisa, cu imprecizia
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi>
<mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta E} data de inegalitatea
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi>
<mi>E</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>t</mi> <mo>>=</mo> <mi
class="MJX-variant">\hbar </mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E\Delta t\geq \hbar
/2}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta E\Delta t\geq \hbar /2} . Aceasta formulare a
fost explicit infirmata de Y. Aharonov si D. Bohm in 1961. Intr-adevar,
se poate determina energia exacta a unui sistem cuantic intr-un
interval de timp arbitrar de scurt. Mai mult, dupa cum arata unele
cercetari recente, pentru sisteme cuantice cu spectre discrete de
energie, produsul
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">D</mi>
<mi>E</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E\Delta
t}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta E\Delta t} este limitat superior de un zgomot
statistic care dispare daca sunt folosite suficient de multe copii
identice ale sistemului. Aceasta limita superioara care dispare elimina
in mod cert posibilitatea unei limite inferioare, contrazicand din nou
aceasta falsa formulare a principiului incertitudinii energie-timp.
Demonstratie[modificare | modificare sursa]
Principiul incertitudinii are o demonstratie matematica simpla. Pasul
cheie este aplicarea inegalitatii Cauchy-Schwarz, una din cele mai
utile teoreme din algebra liniara.
Pentru doi operatori hermitici arbitrari A: H -> H si B: H -> H, si
orice element x din H, atunci
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>A</mi> <mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo>
</mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>B</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>*</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle BAx|x\rangle
=\langle Ax|Bx\rangle =\langle Bx|Ax\rangle ^{*}}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \langle BAx|x\rangle =\langle Ax|Bx\rangle
=\langle Bx|Ax\rangle ^{*}}
Intr-un spatiu cu produs scalar, este valabila inegalitatea
Cauchy-Schwarz.
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>|</mo>
<mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo>
<mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo
stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo
fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo>
</mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow>
</msup> <mo><=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo>
<mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false"
stretchy="false">||</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false"
stretchy="false">||</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo
fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle>
</mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle
\left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}\leq
\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}\leq
\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}}
Rearanjand aceasta formula obtinem:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right
left right left right left right left right left"
rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em
0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo fence="false"
stretchy="false">||</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo
fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo
fence="false" stretchy="false">||</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi>
<msup> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>>=</mo>
<msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd>
<mi></mi> <mo>>=</mo> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">I</mi> <mi
mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mo fence="false"
stretchy="false">{</mo> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false"
stretchy="false">}</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd>
</mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac>
</mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mspace
width="thinmathspace"/> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi
mathvariant="normal">I</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi>
</mrow> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo
fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi>
<mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo
stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo
fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false"
stretchy="false">}</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd>
</mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac>
</mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mo>-</mo> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>*</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd>
</mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac>
</mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mo>-</mo> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>B</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd>
</mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac>
</mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo>
</mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mo>-</mo> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mi>A</mi> <mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo>
</mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd>
</mtr> <mtr> <mtd/> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac>
</mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo
stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mo stretchy="false">(</mo>
<mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo>-</mo> <mi>B</mi> <mi>A</mi> <mo
stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo>
<msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo
stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow>
</mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle
{\begin{aligned}\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}\geq \left|\langle
Bx|Ax\rangle \right|^{2}&\geq \left|\mathrm {Im} \{\langle
Bx|Ax\rangle \}\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|2\,\mathrm
{Im} \{\langle Bx|Ax\rangle \}\right|^{2}\\&={\frac
{1}{4}}\left|\langle Bx|Ax\rangle -\langle Bx|Ax\rangle
^{*}\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle Bx|Ax\rangle
-\langle Ax|Bx\rangle \right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle
ABx|x\rangle -\langle BAx|x\rangle \right|^{2}\\&={\frac
{1}{4}}|\langle (AB-BA)x|x\rangle
|^{2}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle {\begin{aligned}\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}\geq
\left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}&\geq \left|\mathrm {Im}
\{\langle Bx|Ax\rangle \}\right|^{2}\\&={\frac
{1}{4}}\left|2\,\mathrm {Im} \{\langle Bx|Ax\rangle
\}\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle Bx|Ax\rangle
-\langle Bx|Ax\rangle ^{*}\right|^{2}\\&={\frac
{1}{4}}\left|\langle Bx|Ax\rangle -\langle Ax|Bx\rangle
\right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left|\langle ABx|x\rangle -\langle
BAx|x\rangle \right|^{2}\\&={\frac {1}{4}}|\langle
(AB-BA)x|x\rangle |^{2}\end{aligned}}}
Aceasta da o forma a relatiei Robertson-Schroedinger:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac>
</mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo
stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mo stretchy="false">[</mo>
<mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">]</mo>
<mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo
stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <msup> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup>
<mo><=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">||</mo>
<mi>A</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false"
stretchy="false">||</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false"
stretchy="false">||</mo> <mi>B</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo
fence="false" stretchy="false">||</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo>
</mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac
{1}{4}}|\langle [A,B]x|x\rangle |^{2}\leq
\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2},}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle {\frac {1}{4}}|\langle [A,B]x|x\rangle |^{2}\leq
\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2},}
unde operatorul [A,B] = AB - BA reprezinta comutatorul lui A si B.
Pentru a lamuri intelesul fizic al acestei inegalitati, ea este adesea
scrisa in forma:
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>A</mi> <mspace
width="thinmathspace"/> <msub> <mi mathvariant="normal">D</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub>
<mi>B</mi> <mo>>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac>
<mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub>
<mrow> <mo>⟨</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>]</mo>
</mrow> <mo>⟩</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta
_{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle
\left[{A},{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right|}</annotation>
</semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac
{1}{2}}\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle
_{\psi }\right|}
unde
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow>
<mo>⟨</mo> <mi>X</mi> <mo>⟩</mo> </mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo>
<mrow> <mo>⟨</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow>
<mi>X</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mo>⟩</mo> </mrow>
</mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\langle
X\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi |X\psi \right\rangle
}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \left\langle X\right\rangle _{\psi }=\left\langle
\psi |X\psi \right\rangle }
este operatorul medie al observabilei X in starea sistemului q si
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi
mathvariant="normal">D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <msup> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mo
fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> <msubsup> <mo
fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt>
</mrow> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\psi
}X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {X}\rangle
_{\psi }^{2}}}}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle \Delta _{\psi }X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle
_{\psi }-\langle {X}\rangle _{\psi }^{2}}}}
este operatorul deviatie standard al observabilei X in starea
sistemului q. Aceasta formulare se poate deduce din formularea de mai
sus inlocuind A cu
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>-</mo> <mo
fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <msub> <mo
fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A-\langle
A\rangle _{\psi }}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle A-\langle A\rangle _{\psi }} si B cu
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>-</mo> <mo
fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <msub> <mo
fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow
class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B-\langle
B\rangle _{\psi }}</annotation> </semantics> :MATH]
{\displaystyle B-\langle B\rangle _{\psi }} , si folosind faptul ca
[MATH: <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle
displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo>
<mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">]</mo>
<mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>A</mi> <mo>-</mo> <mo
fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo
fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>,</mo>
<mi>B</mi> <mo>-</mo> <mo fence="false"
stretchy="false">⟨</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false"
stretchy="false">⟩</mo> <mo stretchy="false">]</mo>
<mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation
encoding="application/x-tex">{\displaystyle [A,B]=[A-\langle
A\rangle ,B-\langle B\rangle ].}</annotation> </semantics>
:MATH]
{\displaystyle [A,B]=[A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle ].}
Aceasta formulare isi obtine interpretarea fizica indicata de
terminologia sugestiva "medie" si "deviatie standard", datorita
proprietatilor masurarii in mecanica cuantica. Relatii de incertitudine
particulare, cum ar fi pozitie-impuls, pot fi de regula deduse printr-o
aplicare imediata a acestei inegalitati.
Istorie si interpretari[modificare | modificare sursa]
Articol principal: Interpretarea mecanicii cuantice.
Principiul Incertitudinii a fost dezvoltat ca raspuns la intrebarea:
Cum masuram pozitia unui electron in jurul unui nucleu?
In vara lui 1922, Heisenberg s-a intalnit cu Niels Bohr, parintele
fondator al mecanicii cuantice, iar in Septembrie 1924 Heisenberg a
mers la Copenhaga, unde Bohr il invitase ca cercetator asociat si mai
tarziu ca asistent. In 1925 Werner Heisenberg a enuntat principiile de
baza a unei mecanici cuantice complete. In acest nou context, el a
inlocuit variabilele comutative clasice cu unele necomutative. Lucrarea
lui Heisenberg a marcat o radicala desprindere de tentativele
anterioare de rezolvare a problemelor atomice cu ajutorul doar al
cantitatilor observabile. El scria intr-o scrisoare din 1925: "Toate
eforturile mele se indreapta spre a ucide si a inlocui conceptul de
cale orbitala care nu poate fi observata." Decat sa se lupte cu
complexitatile orbitelor tridimensionale, Heisenberg s-a ocupat de
mecanica unui sistem oscilant unidimensional, un oscilator nearmonic.
Rezultatul a constat in formule in care numerele cuantice erau legate
de frecvente si intensitati observabile ale radiatiilor. In Martie
1926, lucrand in institutul lui Bohr, Heisenberg a formulat principiul
incertiturinii punand astfel bazele a ceea ce a fost mai tarziu
cunoscut drept interpretarea Copenhaga a mecanicii cuantice.
Albert Einstein nu a fost multumit de principiul incertitudinii
aratandu-si nemultumirea prin celebra replica "Dumnezeu nu joaca
zaruri" la care i-a fost replicat "Atunci nu-i mai spune lui Dumnezeu
ce sa faca cu ele"(aceasta replica se refera bineinteles la Teoria
Relativitatii in care fiecare eveniment este cat de cat previzibil ex:
zarul pare imprevizibil, dar daca stii densitatea aerului, viteza
vantului, viteza zarului, masa zarului, viteza de rotatie a lui, etc.
poti practic sa spui cum va cadea zarul).
Nemultumit, Einstein i-a provocat pe Niels Bohr si Werner Heisenberg cu
un celebru experiment imaginar (Vezi Dezbaterile Bohr-Einstein pentru
detalii): umplem o cutie cu material radioactiv care emite aleator
radiatie. Cutia are o trapa, care este deschisa si imediat inchisa de
un ceas la un moment exact de timp, astfel permitand radiatiei sa iasa.
Deci momentul este deja cunoscut cu precizie. Inca mai vrem sa masuram
variabila conjugata energie cu exactitate. Einstein a propus sa se
cantareasca cutia inainte si dupa. Echivalenta dintre masa si energie
din Relativitatea restransa va permite determinarea cu precizie a
cantitatii de energie care a iesit din cutie. Bohr a raspuns dupa cum
urmeaza: daca iese energie, atunci cutia care ramane mai usoara se va
ridica pe cantar. Aceasta modifica pozitia ceasului. Astfel ceasul
deviaza din sistemul de referinta, si prin relativitatea generalizata,
masurarea timpului va fi diferita de a noastra, conducand la o marja de
eroare inevitabila. De fapt, o analiza detaliata arata ca imprecizia
este data corect de relatia lui Heisenberg.
Termenul interpretarea Copenhaga a mecanicii cuantice a fost adesea
folosit ca sinonim pentru Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg
de catre cei care credeau in destin si determinism si vedeau
trasaturile teoriei Bohr-Heisenberg ca o amenintare. In cadrul
interpretarii Copenhaga, acceptata pe scara larga (dar nu universal) a
mecanicii cuantice (nu a fost acceptata de Einstein si alti fizicieni
ca Alfred Lande), principiul incertitudinii este inteles astfel: la
nivel elementar, universul fizic nu exista intr-o forma determnista --
el exista ca o colectie de probabilitati, sau potentiale. De exemplu,
distributia de probabilitate produsa de milioane de fotoni trecand
printr-o fanta de difractie poate fi calculata cu ajutorul mecanicii
cuantice, dar calea exacta a fiecarui foton nu poate fi prezisa prin
nicio metoda cunoscuta. Interpretarea Copenhaga sustine ca nu poate fi
prezisa prin nicio metoda, nici macar cu instrumente de precizie
teoretic infinita.
Aceasta interpretare a fost pusa sub semnul intrebarii de Einstein cand
a spus "Nu pot sa cred ca Dumnezeu ar alege sa joace zaruri cu
universul." Bohr, unul din autorii interpretarii Copenhaga a raspuns,
"Einstein, nu-i spune tu lui Dumnezeu ce sa faca." Niels Bohr insusi a
recunoscut ca mecanica cuantica si principiul incertitudinii sunt
contraintuitive cand a afirmat: "Cine nu e socat de teoria cuantica nu
a inteles nici un cuvant din ea."
Dezbaterea de baza dintre Einstein si Bohr (inclusiv Principiul
Incertitudinii al lui Heisenberg) a fost bazata pe faptul ca Einstein
spunea in esenta: "Bineinteles ca putem sa stim unde este un lucru;
putem sti pozitia unei particule in miscare daca stim fiecare detaliu
posibil, si astfel, prin extensie, putem prezice unde se va duce." Bohr
si Heisenberg spuneau: "Putem sti doar pozitia probabila a unei
particule in miscare, de aceea, prin extensie, putem sti destinatia ei
probabila; nu putem sti cu certitudine unde se va duce."
Einstein era convins ca aceasta interpretare era gresita. Rationamentul
lui era ca toate distributiile de probabilitate cunoscute pana atunci
reieseau din evenimente deterministe. Distributia aruncarii unei monede
sau a zarurilor poate fi descrisa cu o distributie de probabilitate
(50% cap, 50% pajura), dar asta nu inseamna ca miscarile lor fizice
sunt imprevizibile. Mecanica clasica poate fi folosita pentru a calcula
exact cum va ateriza fiecare moneda, daca se cunosc fortele care
actioneaza. Iar distributia cap/pajura se va alinia cu distributia de
probabilitate (date fiind forte initiale aleatorii).
Einstein a presupus ca, similar exista variabile ascunse si in mecanica
cuantica, si care stau la baza probabilitatilor observate si ca aceste
variable, odata cunoscute, ar arata ca exista ceea ce Einstein a numit
"realism local," o descriere opusa principiului incertitudinii, dat
fiind ca toate obiectele trebuie sa aiba deja proprietatile lor inainte
ca acestea sa fie masurate. Mare parte din secolul XX, au fost propuse
multe astfel de teorii ale variabilelor ascunse, dar in 1964 John Bell
a teoretizat inegalitatea Bell pentru a le contrazice, inegalitate care
postula ca desi comportamentul unei particule individuale este aleator,
el este corelat cu comportamentul altor particule. De aceea, daca
principiul incertitudinii este rezultatul unui proces determinist in
care o particula are realism local, trebuie sa fie cazul ca particule
aflate la distante mari isi transmit informatii unele altora pentru a
se asigura ca corelarile comportamentale intre particule au loc.
Interpretarea teoremei lui Bell opreste in mod explicit orice teorie a
variabilelor ascunse sa fie adevarata, pentru ca arata necesitatea unui
sistem de a descrie corelatii intre obiecte. Implicatia este ca, daca o
variabila locala ascunsa cauzeaza pozitionarea particulei 1, atunci o a
doua variabila locala ascunsa va fi responsabila pentru pozitia
particulei 2 -- si nu exista un sistem care sa faca o corelatie intre
ele. Experimentele au demonstrat ca o corelatie exista. In anii ce au
urmat, teorema lui Bell a fost testata si confirmata experimental de
numeroase ori, iar aceste experimente sunt intr-un fel cele mai clare
confirmari experimentale ale mecanicii cuantice. Merita observat ca
teorema lui Bell se aplica doar la teoriile variabilelor locale
ascunse; teoriile variabilelor ascunse nelocale pot sa existe (ceea ce
unii, inclusiv Bell, cred ca pot face legatura conceptuala intre
mecanica cuantica si lumea observabila).
Daca parerea lui Einstein sau cea a lui Heisenberg este adevarata sau
falsa nu este o problema empirica simpla. Un criteriu prin care am
putea judeca succesul unei teorii stiintifice este puterea de explicare
pe care aceasta ne-o da, si pana acum se pare ca vederea lui Heisenberg
a fost mai buna la a explica fenomenele subatomice.
Cultura populara[modificare | modificare sursa]
Principiul incertitudinii este enuntat in mai multe feluri in cultura
populara, de exemplu, prin afirmatia ca este imposibil de stiut exact
in acelasi timp si unde se afla un electron si unde se duce. Este
corect in linii mari, desi nu se spune o parte importanta a
principiului lui Heisenberg, care este limita cantitativa a
incertitudinii. Heisenberg a spus ca este imposibil sa se determine
simultan si cu precizie nelimitata pozitia si impulsul unei particule,
dar datorita faptului ca valoarea constantei lui Planck este atat de
mica, Principiul Incertitudinii se poate aplica doar miscarii
particulelor atomice. Totusi, cultura adesea interpreteaza gresit acest
lucru, spunand ca este imposibil teoretic sa se faca o masuratoare
perfect precisa.
Piesa lui Michael Frayn Copenhagen prezinta unele din procesele care au
dus la formarea Principiului Incertitudinii. Piesa dramatizeaza
intalnirile dintre Werner Heisenberg si Niels Bohr. Ea evidentiaza, de
asemenea, discutia asupra muncii depuse de ambii pentru realizarea
bombei nucleare - Heisenberg pentru Germania si Bohr pentru Statele
Unite si fortele aliate.
In filmul din 1997 The Lost World: Jurassic Park, haosticianul Ian
Malcolm sustine ca efortul "de a observa si documenta, nu de a
interactiona" cu dinozaurii este o imposibilitate stiintifica datorita
"Principiului Incertitudinii al lui Heisenberg, orice ai studia, il
schimbi." Aceasta e o confuzie cu efectul de observator, explicata mai
sus.
In serialul de televiziune Star Trek: The Next Generation,
transportatoarele fictive folosite pentru a "teleporta" personaje la
diferite locatii depaseau limitarile asupra esantionarii subiectului
datorita principiului incertitudinii prin folosirea de "compensatoare
Heisenberg." Cand a fost intrebat, "Cum functioneaza compensatoarele
Heisenberg?" de reporterii Time magazine pe 28 November 1994, Michael
Okuda, consilier tehnic al Star Trek, a raspuns, "Foarte bine,
multumesc."^[1]
Intr-un episod din serialul Aqua Teen Hunger Force, Meatwad
(transformat temporar intr-un geniu) incearca sa explice incorect
Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg lui Frylock pentru a
explica nou gasita sa inteligenta. "Principiul Incertitudinii al lui
Heisenberg ne spune ca la o curbura anume a spatiului, stiinta poate fi
convertita in energie ... sau, si asta este cheia, in materie."
Intr-un episod din Stargate SG-1, Samantha Carter explica, folosindu-se
de principiul incertitudinii, ca viitorul nu este predeterminat, iar
posibilitatile pot fi doar calculate.
Note[modificare | modificare sursa]
1. ^ "Reconfigure the Modulators!". Time Magazine. 28 noiembrie 1994.
Bibliografie[modificare | modificare sursa]
* W. Heisenberg, "Ueber den anschaulichen Inhalt der
quantentheoretischen Kinematik und Mechanik", Zeitschrift fuer
Physik, 43 1927, pp. 172-198. English translation: J. A. Wheeler
and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press,
1983, pp. 62-84.
* L. I. Mandelshtam, I. E. Tamm "The uncertainty relation between
energy and time in nonrelativistic quantum mechanics", Izv. Akad.
Nauk SSSR (ser. fiz.) 9, 122-128 (1945). English translation: J.
Phys. (USSR) 9, 249-254 (1945).
* G. Folland, A. Sitaram, "The Uncertainty Principle: A Mathematical
Survey", Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp
207-238.
* G. Gabrielse, H. Dehmelt, "Observation of Inhibited Spontaneous
Emission", Physical Review Letters, 55 (1985), 67-70.
* Viasat History:Biografia lui Einstein
* E. Spolschi, Fizica atomica, vol 1, Editura Tehnica, 1952, pp.
353-354, 360-367
Legaturi externe[modificare | modificare sursa]
* Matter as a Wave - un capitol dintr-o carte electronica
* The Uncertainty Relations: Description, Applications pe Project
PHYSNET
* Quantum mechanics: Myths and facts
* Stanford Encyclopedia of Philosophy entry
* aip.org: Quantum mechanics 1925-1927 - The uncertainty principle
* Eric Weisstein's World of Physics - Uncertainty principle
* Schroedinger equation from an exact uncertainty principle
* John Baez on the time-energy uncertainty relation
v o d o m
Fizica cuantica
Teorie cuantica veche
Constanta Planck o Cuanta o Difractia electronilor o Dualismul
corpuscul-unda o Formula lui Planck o Ipoteza De Broglie o Modelul
atomic Bohr o Numar cuantic
Mecanica cuantica
Ecuatia lui Dirac o Ecuatia lui Schroedinger o Efectul tunel o Functie
de unda o Hamiltonian (mecanica cuantica) o Inseparabilitate cuantica o
Interpretarea Copenhaga o Interpretarile mecanicii cuantice o
Introducere in mecanica cuantica o Mecanica cuantica o Moment cinetic
(mecanica cuantica) o Notatia bra-ket o Operator statistic o
Oscilatorul armonic liniar o Particule identice o Principiul de
excluziune o Principiul incertitudinii o Reprezentarea numerelor de
ocupare o Spin (fizica) o Spin 1/2 si matricile lui Pauli
Teorie cuantica relativista
Ecuatia Schroedinger neliniara o Electrodinamica cuantica o Ruperea
spontana a simetriei o Teoria coardelor
Proiect:Mecanica cuantica
Informatii bibliotecare
* BNE: XX4701819
* BNF: cb119791102 (data)
* GND: 4186953-9
* LCCN: sh85059968
* NDL: 00563607
* SUDOC: 027834964
Adus de la
https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Principiul_incertitudinii&ol
did=14746125
Categorii:
* Principii ale fizicii
* Mecanica cuantica
* 1927 in stiinta
* Legi ale fizicii
Categorii ascunse:
* Articole de verificat
* Articole Wikipedia cu identificatori BNE
* Articole Wikipedia cu identificatori BNF
* Articole Wikipedia cu identificatori GND
* Articole Wikipedia cu identificatori LCCN
* Articole Wikipedia cu identificatori NDL
* Articole Wikipedia cu identificatori SUDOC
* Articole Wikipedia cu control de autoritate
Meniu de navigare
Unelte personale
* Nu sunteti autentificat
* Discutii
* Contributii
* Creare cont
* Autentificare
Spatii de nume
* Articol
* Discutie
[ ] romana expanded collapsed
Vizualizari
* Lectura
* Modificare
* Modificare sursa
* Istoric
[ ] Mai mult expanded collapsed
Cautare
____________________ Cautare Salt
Navigare
* Pagina principala
* Schimbari recente
* Cafenea
* Articol aleatoriu
* Facebook
Participare
* Cum incep pe Wikipedia
* Ajutor
* Portaluri tematice
* Articole cerute
* Donatii
Trusa de unelte
* Ce trimite aici
* Modificari corelate
* Trimite fisier
* Pagini speciale
* Navigare in istoric
* Informatii despre pagina
* Citeaza acest articol
* Element Wikidata
Tiparire/exportare
* Creare carte
* Descarcare ca PDF
* Versiune de tiparit
In alte proiecte
* Wikimedia Commons
In alte limbi
* Afrikaans
* a+l+e+r+b+y+tm
* Asturianu
* Az@rbaycanca
* Belaruskaya
* B"lgarski
*
* Bosanski
* Catal`a
* Cestina
* Dansk
* Deutsch
* Ellynika'
* English
* Esperanto
* Espanol
* Eesti
* Euskara
* f+a+r+s+
* Suomi
* Franc,ais
* Gaeilge
* Galego
* E+B+R+J+T+
*
* Hrvatski
* Magyar
*
* Bahasa Indonesia
* Italiano
*
* azasha
*
*
* Lietuviu
* Latviesu
* Makedonski
*
*
* m+a+z+1+r+w+n+
* Nederlands
* Norsk nynorsk
* Norsk bokmaal
*
* Polski
* Portugues
* Russkij
* Srpskohrvatski / srpskohrvatski
* Simple English
* Slovencina
* Slovenscina
* Srpski / srpski
* Svenska
* Kiswahili
*
*
* Tagalog
* Tuerkc,e
* Tatarcha/tatarc,a
* Ukrayins'ka
* Tie>'ng Vie>-.t
*
* J+J+iD+J+Sh
*
*
*
Modifica legaturile
* Ultima editare a paginii a fost efectuata la 13 ianuarie 2022, ora
09:33.
* Acest text este disponibil sub licenta Creative Commons cu
atribuire si distribuire in conditii identice; pot exista si clauze
suplimentare. Vedeti detalii la Termenii de utilizare.
* Politica de confidentialitate
* Despre Wikipedia
* Termeni
* Versiune mobila
* Dezvoltatori
* Statistici
* Declaratie cookie
* Wikimedia Foundation
* Powered by MediaWiki